Uma elipse é o conjunto de todos os pontos em um plano tal que a soma das distâncias de dois pontos fixados é uma constante. Os dois pontos fixados são denominados foci da elipse.

Analisando Gráficos de Elipses da Forma

Examine o gráfico da elipse abaixo.

> with(plots):

> implicitplot((x^2)/25+(y^2)/9-1,x=-6..6,y=-4..4);

Os foci estão posicionados no eixo maior (eixo x para essa elipse) na distância de c unidades do centro. O eixo menor (eixo y para essa elipse) é perpendicular ao maior eixo através do centro da elipse.

Baseado no gráfico, determine a posição do centro e a extensão dos eixos maior e menor.

R: centro = (0, 0)
eixo maior extensão = 10
eixo menor extensão = 6.

Compare a extensão do eixo maior ao valor de a na equação .

R: 2a é a extensão do maior eixo.

Compare a extensão do eixo menor ao valor de b na equação .

R: 2b é o comprimento do eixo menor.

Examine o gráfico de outra elipse abaixo.

> with(plots):

> implicitplot(x^2/144+y^2/16-1,x=-15..15,y=-5..5);

Explique porque essa elipse é mais alongada que a primeira elipse.

R: a é muito mais larga que b .

Onde o centro está posicionado?

R: centro = (0, 0).

Considere apenas a equação de uma elipse .

Especifique a posição do maior e menor eixo.

R: O maior eixo é o eixo x e o menor eixo é o eixo y .

Determine o centro, extensão do eixo maior, e extensão do eixo menor.

R: centro = (0, 0)
eixo maior extensão = 18
eixo menor extensão = 14.

Em geral, uma elipse com centro na origem e equação tem vértices (+/- a, 0), pontos-finais do menor eixo (0, +/- b), e foci ( +/- c, 0),onde . O eixo maior tem extensão e o eixo menor tem extensão .

Para construir o gráfico da elipse tendo centro na origem, foci em (3,0) e (- 3,0) e maior eixo de extensão 8, os valores de a e b devem ser determinados. A posição da foci dá a c um valor de 3 e o maior eixo de extensão 8 define a igual a 4 (metade de 8). Usando a relação , pode ser determinada como segue.

> eq:=c^2=a^2-b^2:

> eq:=subs({c=3,a=4},eq);

> solve(eq);

A equação da elipse descrita abaixo pode agora ser definida como segue.

> with(plots):

> implicitplot(x^2/16+y^2/7-1,x=-15..15,y=-3..3);

Analisando Gráficos de Elipses da Forma

Examine o gráfico da elipse definida abaixo.

> with(plots):

> implicitplot(x^2/9+y^2/49-1,x=-4..4,y=-8..8);

Note que o eixo maior é posicionado ao longo do eixo y e o eixo menor é posicionado ao longo do eixo x .

Ao longo de qual eixo a foci está posicionada?

R: eixo y .

Qual é o tamanho do eixo maior ? E do menor eixo ?

R: eixo maior: 14
eixo menor: 6.

Para uma elipse com vértices em (-2,0), (2,0), (0,6), e (0,-6), os valores de a e b são determinados como segue.

R: e .

A equação da elipse torna-se: .

> with(plots):

> implicitplot(x^2/4+y^2/36-1,x=-5..5,y=-7..7);

Analisando Gráficos de Elipses Centradas em ( ) .

Examine o gráfico da seguinte elipse: .

> with(plots):

> implicitplot((x-3)^2/9+(y+4)^2/64-1,x=0..6,y=-15..5);

Especifique as coordenadas do centro.

R: centro: (3, -4).

Qual o tamanho do eixo maior ? E do eixo menor ?

R: eixo maior: 16
eixo menor: 6.

Construa o gráfico de uma elipse com centro (- 4, 2), menor eixo de extensão 12, e maior eixo horizontal de extensão 20.

> with(plots):

> implicitplot((x+4)^2/10^2+(y-2)^2/6^2-1,x=-15..10,y=-5..10);

Encontre uma equação para a elipse centrada em (3,-5) com , , e eixo maior vertical. Atenção: Para uma elipse, .

> eq:=c^2=a^2-b^2:

> eq:=subs({c=3,a=5},eq);

> solve(eq);

> with(plots):

> implicitplot((x-3)^2/4^2+(y+5)^2/5^2-1,x=-2..8,y=-10..0);

Aprofundando seus Conhecimentos

Explique como um círculo pode ser interpretado como um caso especial de uma elipse.

R: Em um círculo, a e b são iguais. Tanto o maior e o menor eixos são iguais em extensão.

Um jardim elíptico foi planejado em uma área retangular de 10 por 16 pés, marcadas por uma estaca nas focis e amarrada no final de uma corda.

Onde as estacas devem ser colocadas para criar uma possível elipse?

> eq:=c^2=a^2-b^2:

> eq:=subs({b=5,a=8},eq);

> solve(eq);

> evalf(%,4);

R: As estacas devem ser colocadas 6.245 pés do centro de um jardim elíptico ao longo do eixo maior.